こんにちわPocolです。
大分時間が空いてしまいましたが，Eric Veachの”Robust Monte Carlo Methods for Light Transport Simulation”を引き続き読んでみます。
前回までのおさらい
前回はAbstractを訳しました。
今回はChapter 1を読んでいくことにします。
Chapter 1
序論
本論文の目的は、光輸送問題を解決するためのロバストで汎用的なアルゴリズムを開発することです。汎用性という目標を達成するために、モンテカルロ法に焦点を当てています。現在のところ、実環境で発生する広範囲の表面形状、反射モデル、照明効果を扱うことができるのはモンテカルロ法のみです。ロバストアルゴリズムとは、可能な限り広い範囲の入力に対して、許容できる精度の出力が得られるものを意味します。本論文では、新しい理論モデル、統計的手法、レンダリングアルゴリズムを開発することで、これらの目標に向けて大きく前進しています。また、達成できないこと、つまり、光輸送に対する特定のアプローチに内在する限界についても調査します。
多くの研究が行われているにもかかわらず、現在の光輸送方法はその能力がかなり限られています。これらの手法は、非常に限定されたクラスの入力モデルに最適化されており、通常、他のタイプの入力を処理するためにリソースの大幅な増加を必要とします。例えば、強い間接照明のあるシーンや、ほとんどのサーフェスが拡散しないシーンで問題が発生することがよくあります。これらは決して病的な例ではなく、実際には、これらのケースをうまく解決することに大きな関心が寄せられています（例えば、建築アプリケーションなど）。
光輸送アルゴリズムが広く使われるためには、壊れにくい技術を見つけることが重要です。レンダリングアルゴリズムは、実際のモデル上で許容される時間内に実行され、物理的にもっともらしく、視覚的にも楽しい画像が得られなければなりません。複雑なジオメトリ、マテリアル、照明などはすべて実際の環境の重要な要素であるため、これらをサポートしなければなりません。
私たちの研究では、実モデルの可能な限り広い範囲において、合理的で予測可能な性能を持つアルゴリズムを開発することを目指しています。複雑な形状や材質を比較的容易に扱えるモンテカルロ法に着目しているため、複雑な照明を効率的に扱えるアルゴリズムを開発することに主眼を置いています。これには、光沢のある表面、集中した間接照明、小さな幾何学的オブジェクト、コースティクスなどの特徴が含まれますが、これらはすべて、現在のさまざまなレンダリングアルゴリズムの問題の原因となっています。私たちの目標は、これらの困難なケースを特別な処理をせずにうまく処理できる汎用アルゴリズムを見つけること、つまり、ロバストな光輸送アルゴリズムを見つけることです。
以下では、まず光輸送問題の概要と、なぜ光輸送が重要なのかを説明します。また、輸送モデルに関する我々の仮定についても議論します(1.5節でより詳細に議論します)。この簡単な紹介の後、本論文のオリジナルの貢献を要約し、その機構の概要を説明します。
この章の残りの部分では、これらの結果がより大きな文脈にどのように適合しているかを確認するために一歩後退します。第1.4節では、グラフィックスで使用されている様々なタイプの光輸送アルゴリズムを高レベルで概観し、偏りのないモンテカルロアルゴリズムの利点を説明します。第1.5節では、実物の光で起こる様々な現象（回折など）と、これらの現象がシミュレーションしやすい、あるいはシミュレーションしにくい理由について考察します。最後に、第1.6節では、光の輸送と密接に関係する物理学や工学の問題について考察します。これらの他の分野では視点が大きく異なることが多く、似たような問題でも様々な解法が存在します。
1.1 光輸送の問題
コンピュータグラフィックスでは、光輸送のシミュレーションは、人工世界の説得力のあるイメージを作成するのに役立つツールです。私たちは、表面の幾何学的形状や散乱特性を含む環境の記述を与えられています。また、光源や画像を生成するための視点についても説明します。光輸送アルゴリズムは、現実的で正確な画像を生成するために、この世界の物理をシミュレートします。
1.1.1 なぜ光輸送が重要なのか
光輸送アルゴリズムの主な目的の一つは、現実的な仮想環境のモデリングにおいて、人間の効率を高めることです。例えば、計算アニメーションでは、現在、現実的な照明の設計に多くの努力が費やされています。主な問題は、制作作業に使用されるアルゴリズム（スキャンラインレンダリングやレイトレーシングなど）が、間接照明をシミュレートする機能を持っていないことです。したがって、間接照明は、照明が配置されたときに自動的に発生するわけではありません：代わりに、慎重に追加のライトを配置して真似しなければなりません。もし、ロバストな光輸送アルゴリズムが見つかれば、間接照明を自動的に計算してくれるようになり、照明の仕事が格段に楽になります。
光輸送のもう一つの重要なアプリケーションは予測モデリングであり、ここでは構築前にオブジェクトの外観を予測したいと考えています。このアイデアは、建築や製品設計において明らかに活用されています。これらのアプリケーションでは、結果が客観的に正確であることと、視覚的に見やすいことが重要です。
最後に、光の輸送は放射線や粒子の輸送問題に似た構造を持っているので、グラフィックスにおける光の輸送のためのより良い技術は、物理学や工学のより良い方法につながるかもしれません。1.6節ではこれらの可能性について詳しく述べています。
堅牢な光輸送アルゴリズムが見つかれば、広く使われるのは必然と思われます。これは、計算ソフトウェア全般のトレンドを継続することになるでしょう。これにより、特殊なケースでの効率化のために設計されたアルゴリズムよりも、より単純で強力なアルゴリズムが最終的には有利になります。正確な光輸送シミュレーションの利点は、その適度な計算コストをすぐに上回ると感じています。
1.1.2 輸送モデルについての想定
光輸送アルゴリズムは、ほとんどのアプリケーションでは必要ないため、光の挙動を詳細にシミュレートすることはありません。グラフィックスの観点から見ると、物理光学はオプションのメニューとして考えるのがベストです。それぞれのアプリケーションに対して、どのような光学効果が重要であるかを決定し、それらをシミュレートできるアルゴリズムを選択します。
我々の研究では、一般的に幾何学的な光学モデルを想定しています。光は表面でのみ放射、散乱、吸収され、これらの表面間の直線に沿って移動します。したがって、雲や煙のような参加媒体や、屈折率が連続的に変化する媒体（例えば、加熱された空気）は許可しません。また、光の性質のうち、その説明に波動モデルや量子モデルに依存するものはほとんど無視します（回折や蛍光など）。特に、光ビーム間の干渉の可能性は無視しています。つまり、光は完全にちぐはぐであると仮定しています。
通常の環境では、無視していた影響はあまり大きくありません。幾何学的光学系は私たちの周りで目にするほとんどすべてのものを高い精度でモデル化するのに十分です。このため、グラフィックスにおける実質的にすべての光輸送アルゴリズムは、上記と同様の仮定に基づいています。この章の後半では、他にもいくつかの選択肢があったかどうかを調べます（第 1.5 節と第 1.6 節を参照）。
1.2 新しい研究に基づく貢献の概要
我々の貢献は、新しい理論モデル、新しい統計的手法、新しいレンダリングアルゴリズムの3つの分野に分類されます。それぞれの分野の概要を説明した後、私たちの成果について詳しく説明します。
本論文の最初の部分では、双方向光輸送アルゴリズムの理論を調査しています。我々は、単純で数学的に正確な光輸送モデルを開発し、光輸送問題の構造を有用な方法で明らかにしました。特に、シーンモデルの物理的妥当性に関する様々な仮定の下で、異なる双方向性の解法（例えば、光と重要度に基づく解法）の間の関係を研究してきました。これらの新しい光輸送の定式化は、新しい洞察とレンダリング技術に直接つながっています。
統計的手法は、モンテカルロアルゴリズムのもう一つの重要な要素です。私たちは光輸送アルゴリズムを研究する過程で 分散を減らすための新しい汎用的な手法を開発しました これらの手法は、他の文脈でも有用であると考えられるため、これらの手法を分離し、抽象的な設定で発表しました。
最後に、我々の主な貢献は、ロバストな光輸送アルゴリズムの開発です。これらのアルゴリズムの主な利点は、複雑な照明を効率的に処理できることです。また、モンテカルロ法の性質上、複雑な散乱モデルや表面形状にも対応しています。これらの特性を組み合わせることで、間接照明が困難な場合でも、多様な現実的なシーンを合理的かつ予測可能な時間でレンダリングすることが可能になります。
1.2.1 コンピュータグラフィックスにおける双方向光輸送理論
一般的な線形演算子の定式化
Arvo [1995]の研究を発展させ、線形演算に基づく単純な光輸送モデルを提示します。この新しい定式化は、光輸送、重要度輸送、粒子追跡を統合し、それらの関係を簡潔にまとめたものです。我々はシーンモデルの物理的妥当性については何の仮定もしていないので、我々のフレームワークはこれまでのアプローチよりも豊かな構造を与えています。
非対称散乱の新しい例
ある種の材質は、光輸送アルゴリズムにおいて特別に扱われなければなりません。つまり，双方向散乱分布関数（BSDF）が対称でない材質です。これまで認識されていなかった2つの一般的な例について議論します。具体的には、光が屈折したとき、またシェーディング法線が使われたときに非対称散乱が起こることを示します。また、双方向性アルゴリズムにおいて、これらの状況を正しく処理するために必要な変換を導出します。また、これらの新しい変換が使用されない場合、大きな誤差や画像のアーチファクトが発生する可能性があることを示します。
一般的な材質の相反性
物理的に有効な材質からの光の反射が対称的なBSDFによって記述されることはよく知られています。我々は、この条件を一般化し、任意の物質(すなわち、反射だけでなく透過についても)にも適用できるようにしました。我々は、熱力学の法則、特にキルヒホッフの法則と詳細なバランスの原理を用いて、この新しい相反性の原理を確立します。また、相反性の原理の歴史的起源、その正当化に関わる巧妙さ、そして、それらが有効である条件についても議論します。
自己共役演算子の定式化
この新しい相反性の原理を利用して、すべての物理的に有効なシーンに対して線形演算子が自己共役(対称性)である最初の光輸送定式化を提案します。これにより、双方向光輸送アルゴリズムの理論と実装の両方が単純化されることを示します。
経路積分の定式化
通常、光輸送問題は積分方程式や線形演算子で表現されます。その代わりに、経路の空間上の積分問題として定式化する方法を示します。このような観点から、多重重点的サンプリングやメトロポリスサンプリングアルゴリズムなどの新しい解法を適用することができます。
偏りのないモンテカルロ法の固有の制限
我々は、ある種の輸送経路が標準的なサンプリング技術では生成できないことを示します。このことは、偏りのないモンテカルロ法（パストレースなど）によって生成された画像は、ある種の照明効果を欠いている可能性があることを示唆しています。このような現象が発生する条件を解析し、経路サンプリングアルゴリズムを完全なものにする方法を提案します。
1.2.2 汎用モンテカルロ法
多重重点的サンプリング
本論文では、ロバストな推定量、すなわち、広いクラスの非積分関数に対して分散が小さい推定量を構築するための新しい手法について述べます。これは、積分を評価するために2つ以上のサンプリング手法を使用するという考え方に基づいており、各手法は、ある特徴を持つ非積分関数をサンプルするように設計されており，そうではない場合は高い分散をもたらす可能性があります。我々の主要な結果は、サンプルをどのように組み合わせるかという点にあります：我々は、他の偏りのない方法と比較して、最適に近いことが証明されている組み合わせ戦略を提示します。これにより、分散レイトレーシング、マルチパスラジオシティアルゴリズム、双方向パストレーシングなど、グラフィックスにおける様々な問題に有用な低分散推定器が得られます。
効率性に最適化されたロシアンルーレット
ロシアンルーレットは、サンプリングの平均コストを下げることができますが、分散が大きくなる手法です。我々は、結果として得られる推定器の効率を最大化するために、一方の特性を他方の特性とトレードオフする新しい最適化を提案します。これは、小さな寄与しかしないサンプルが多く存在することが多い可視性テストの文脈で特に有用となります。
1.2.3 ロバストな光輸送アルゴリズム
双方向パストレーシング
経路に対して異なるサンプリング技術群を使用し、多重重点的サンプリングを使用して経路を組み合わせるという考えに基づいて、新しい光輸送アルゴリズムを提案します。各経路は、光源から始まるパスと眼から始まるパスの2つの独立して生成されたサブパスを接続することによって生成されます。光と目のサブパスの長さを変化させることで、異なるサンプリング手法群を得ることができます。それぞれの手法が異なる種類のパスを効率的にサンプリングできること、そして、これらのパスが最終画像の異なる照明効果に関与していることを示します。多重重点的サンプリングを用いてこれらの技術のすべてのサンプルを組み合わせることで、広範囲の異なる照明効果を効率的に処理することができます。
光または目のサブパスが最大で1つの頂点を持つ重要な特殊なケースを含む、双方向性推定器の完全なセットを記述します。また、理想的な鏡面、任意のパス長、効率的な可視性テストのための拡張についても議論します。
メトロポリス光輸送
本研究では、計算物理学のメトロポリスサンプリング法にヒントを得て、光輸送問題に対する新しいモンテカルロ法を提案します。画像をレンダリングするために，現在のパスをランダムに突然変異させることで，一連の光輸送パスを生成します（例えば，突然変異はパスに新しい頂点を追加します）。各突然変異は慎重に選択された確率で受け入れられたり拒否されたりしますが，これにより，パスが希望する最終画像への貢献度に応じてサンプリングされるようになります。このようにして，我々は輸送経路の空間上のランダムウォークを構築し，これらの経路の位置を画像平面上に記録するだけで，偏りのない画像を形成することができます。
このアルゴリズムは不公平感がなく、一般的な幾何学的モデルと散乱モデルを扱い、記憶装置の使用量が少なく、以前の不公平感のないアプローチよりも数桁効率的です。特に、明るい間接光、小さな幾何学的な穴、光沢のある表面など、通常は難しいと考えられている問題に適しています。さらに、比較的単純な照明のシーンでも、以前のアンバイアスアルゴリズムと遜色ありません。
メトロポリスのアプローチの主な利点は、現在のパスに小さな変更を加える突然変異を好むことで、パス空間が局所的に探索されることです。これはいくつかの結果をもたらします。第一に、サンプルあたりの平均コストが小さい（一般的には、1つまたは2つの光線のみ）ことです。第二に、一度重要なパスが見つかると、近くのパスも探索されるので、多くのサンプルにわたってそのようなパスを見つける費用が償却されます。第三に、突然変異セットを簡単に拡張できることです。経路特定の特性（例えば、どの光源が使用されているかなど）を維持しつつ、他の特性を変更する変異を構築することで、シーン内の様々な種類のコヒーレンスを利用することができます。このようにして特殊な変異を設計することで、難しいライティングの問題を効率的に処理することが可能になることが多いです。
1.3 論文構成
最初の2章は、入門編と背景資料で構成されています。第1章の残りの部分では、様々なタイプの光輸送アルゴリズムの長所と短所を議論し、そのアルゴリズムでシミュレートできる光学現象の範囲を検討し、他の分野の類似問題と光輸送を比較します。第2章では、コンピュータグラフィックスで最も有用であることが証明されている分散低減技術の調査を含め、モンテカルロ積分について紹介します。
論文の残りは2つの部分に分かれています。最初の部分では、双方向光輸送アルゴリズムのための新しい理論モデルを記述します。第3章では、放射測定の概念を発展させ、標準的な光輸送方程式を紹介します。また、放射量を定義するための新しい測定理論的な基礎についても述べます。第4章では、線形演算子に基づく新しい光輸送モデルを紹介します。この定式化は、シーンモデルの物理的妥当性についての仮定を一切行いません。第5章では、このモデルが必要とされる状況、すなわち散乱特性が対称的でない材質について検討します。このような材質の物理的・非物理的な例を示し、双方向性アルゴリズムにおいてこれらの材質を正しく扱うために必要な技術を導出します。
第6章では、物質からの光の散乱が物理法則にどのように制約されているかを調べ、一般的な物質の新しい相反性原理を導出します。第7章では、この原理を用いて、どのような物理的に有効な場面でも光、重要度、粒子が同じ輸送方程式に従うという、最初の光輸送の枠組みを構築します。最後に、第8章では、我々の新しい光輸送アルゴリズムの基礎となる経路積分フレームワークを説明します。
論文の第二部は、より実践的な内容になっています。第9章では、モンテカルロ積分の分散を減らすための一般的なツールである多重重点的サンプリングについて述べています。第10章では、このツールを経路積分のフレームワークに適用し、双方向パストレースアルゴリズムを得ます。最後に、第11章では、経路積分フレームワークを計算物理学でよく知られているサンプリング手法と組み合わせることで、別の方法で経路積分フレームワークを構築し、メトロポリス光輸送アルゴリズムを得ます。
1.4 光輸送アルゴリズム
コンピュータグラフィックスの分野では、光輸送の問題を解決するために多くの異なるアルゴリズムが提案されています。本論文では、偏りのない、ビューに依存しない、モンテカルロ法のアルゴリズムに焦点を当てることにしました。まず、これまでに提案されてきた様々な種類のアルゴリズムについて言及し、次に、私たちが行った選択について議論します。
1.4.1 歴史概略
光輸送アルゴリズムは、大きく分けて2つのグループに分けることができます。それはモンテカルロ法と有限要素法です。
モンテカルロ法は1950年代から中性子輸送問題に用いられており[Albert 1956]、そこでは広く研究されてきました[Spanier & Gelbard 1969]。グラフィックスの分野では、ランダム粒子追跡を用いて画像を計算したAppel [1968]に始まり、モンテカルロ法は独立して発展してきました。Whitted [1980]はレイトレーシング（表面の外観の再帰的評価）を導入し、また、ランダムに変化する可視光線のアイデアを提案しました。Cookら[1984]はこのアイデアを実装し、光源、レンズ、時間のランダムサンプリングに拡張しました。これは、問題が積分方程式として記述でき、サンプリングパスによって評価できることを認識したKajiya[1986]によって提案された最初の完全で偏りのないモンテカルロ輸送アルゴリズムにつながりました。それ以来、彼のパストレース技術は粒子輸送の文献[Arvo & Kirk 1990]から多くの改良が加えられてきました。
また、偏ったモンテカルロアルゴリズムについても多くの研究が行われており、パストレースよりも効率的であることが多いです。これらには、Wardら[1988]の照度キャッシングアルゴリズム、[Shirleyら1995]の密度推定法、[Jensen 1995]のフォトンマップアプローチなどがあります。
光輸送のための有限要素法は、もともと放射熱伝達の文献を参考にしたものです。Goralら[1984]は典型的に知られているラジオシティアルゴリズムとして，これらの手法をグラフィックスのコミュニティに紹介しました。基本的なラジオシティ法には、部分構造化 [Cohenら 1986]、プログレッシブリファインメント [Cohenら 1988]、階層的基底関数 [Hanrahanら 1991]、重要度駆動リファインメント [Smitsら 1992]、不連続メッシング [Lischinskiら 1992]、ウェーブレット法 [Gortler ら 1993]、クラスタリング [Smitsら 1994]など、多くの改良が加えられてきました。その他の拡張機能として，関与媒質の取り扱い [Rushmeier & Torrance 1987] や非拡散表面の有限要素法 [Immel ら 1986, Sillionら 1991, Aupperle & Hanrahan 1993, Schröder & Hanrahan 1994] があります。
また、モンテカルロ法と有限要素法の特徴を組み合わせた手法も提案されています。典型的には、これらの手法は、より一般的なシーンモデルを扱うために、ラジオシティとレイトレーシングパスを組み合わせたマルチパス法の形をとっています。別のアプローチは、モンテカルロラジオシティ法であり、ここでは、解は（有限要素法と同様に）基底関数の線形の組み合わせとして表されますが、係数はランダムな光粒子をトレースすることによって推定されます[Shirley 1990b, Pattanaik & Mudur 1993, Pattanaik & Mudur 1995]。
1.4.2 モンテカルロ法 vs. 決定論的アプローチ
最も基本的なレベルでは、モンテカルロ法は乱数を用いますが、決定論的アルゴリズムはそうではありません。しかし、実際には、アルゴリズムはしばしば技術の混合物を使用しており、容易に分類することはできません。この区別は、それ自体は乱数とは関係のない問題ですが、あるタイプのアルゴリズムや他のタイプのアルゴリズムに関連していることが多いため、さらに曖昧になっています。以下にこれらの違いのいくつかを説明します。
まず、モンテカルロアルゴリズムは通常、より一般的なものです。光輸送計算における誤差の最大の原因がシーンモデルそのものであることが多いため、これは非常に重要な問題です。モンテカルロ法の主な利点は、事実上あらゆる環境を正確にモデル化できることです。一方、決定論的アルゴリズムでは、許容されるジオメトリ（例：ポリゴンに限定される）や材質（例：理想的な拡散反射に限定される）に厳しい制限があることがよくあります。このような制約があると、実際の環境をモデル化することは困難であるか、不可能となります。これらの方法を使用するには、通常、シーンモデルを変更することで、別の問題を解決することに頼らなければなりません。このような状況下での解法の “正確さ “についての主張は、せいぜい誤解を招くようなものです。
モンテカルロ法と決定論的アプローチは、シーンモデルへのアクセス方法によっても区別されます。決定論的アルゴリズムは通常、シーンとそのプロパティ（ポリゴンのリストなど）を明示的に表現して動作します。したがって、これらのアルゴリズムはシーン表現のサイズと複雑さに強く影響されます。一方、モンテカルロ・アルゴリズムはサンプリングに基づいており、シーンモデルは小さなクエリーのセット（例えば、与えられた光線と交差する最初の表面点は何か？）。このインターフェースは、シーンの複雑さを抽象化したレイヤーの後ろに隠し、レンダリング時間がシーン表現にゆるく結合していることを意味します（例えば、シーンの複雑さはレイキャスティングに必要な時間に影響を与えるかもしれません）。事実上、モンテカルロアルゴリズムはシーンをサンプリングして実際に必要な情報を判断することができますが、ほとんどの決定論的アルゴリズムは、関連性があるかどうかに関わらず、あらゆる詳細を調べるように設計されているのに対し、モンテカルロアルゴリズムはシーンをサンプリングして実際に必要な情報を判断します。
これは、ロバスト性のために特に重要な問題です。理想的には、光輸送アルゴリズムの性能は、シーンがどのように表現されているかの詳細よりも、シーンが何を表現しているかだけに依存するべきです。例えば、正方形の面積の光源によって照らされたシーンを考えてみましょう。この光源を点光源の10×10グリッドで置き換えると、視覚的な結果はほぼ同じになります。しかし、多くの光輸送アルゴリズムの性能は、2番目のケースでははるかに悪くなります。同様に、同じ光源を半透明のパネルで覆われた一対の蛍光灯で置き換えるとします。この場合、シーン全体が間接的に照らされ、多くのアルゴリズムに問題が生じます。理想的には、レンダリングアルゴリズムは、この種の化粧品の変更に敏感であってはなりません。同じコメントが幾何学的複雑さにも適用されます。オブジェクトが千のポリゴンで表現されていても、百万のベジェパッチで表現されていても、レンダリング時間はできるだけ似たようなものにしたいと考えています。モンテカルロアルゴリズムはサンプリングに基づいているため、少なくともこのような状況を効果的に処理できる可能性があります。
モンテカルロ法と決定論的手法の区別は、モンテカルロ法が使用する数値の “ランダム性 “に非常に弱い制限を課していることによって、多少曖昧になっています（例えば、多くの場合、これらの数値が一様に分布していることが唯一の要件となります）。通常、同じ制限を満たす固定サンプリングパターンを設計することが可能であり、これはしばしばより良い性能をもたらします（これらは準モンテカルロ法[Niederreiter 1992]と呼ばれています）。モンテカルロ法の原理は、サンプルが本当にランダムであるということではなく、ランダムなサンプルがその代わりに使用される可能性があるということです。
1.4.3 ビュー依存 vs. ビュー非依存アルゴリズム
コンピュータグラフィックスにおけるすべての光輸送アルゴリズムの目的は、モニタや印刷装置での表示に適した画像、すなわち色値の長方形の配列を生成することです。ビューに依存しないアルゴリズムは、解の中間表現を計算するものであり、そこから任意のビューを非常に迅速に生成することができます。他のアルゴリズムはすべてビュー依存であり、これはいくつかの状況のうちの1つを意味します。重要度駆動法は、グローバルに定義された解を計算しますが、特定のビューに最適化されています。つまり、シーンの見える部分では解が詳細になりますが、それ以外の部分では非常に粗くなることがあります。マルチパス法は、すべてのビューに対して有効なグローバルな解を計算しますが、画像を得るための最終レンダリングステップが比較的遅い場合（レイトレーシングが必要な場合など）に使用します。最後に、画像空間法では、シーンモデルから直接画像を計算します。このカテゴリにはパストレーシングなどのモンテカルロアルゴリズムが含まれます。
ビューに依存する方法とビューに依存しない方法の区別は、多くの興味深い問題を提起しています。第一に、これら2種類のアルゴリズムは一般的に異なる目的を持っています。ビューに依存しない方法は、シーンモデルがあるフレームから次のフレームへと大きく変化する可能性があるアニメーションに有用です。また、静止画のレンダリングにも適しています。一方、ビューに依存しないソリューションは、建築物のウォークスルーやコンピュータゲームなどのインタラクティブなアプリケーションに役立ちます。
「ビューに依存しない」アルゴリズムの問題点の一つは、特定のビューに対する誤差を保証しないことです。理想的には、これらのアルゴリズムはすべてのビューが小さな誤差を持つことを保証するでしょう。その代わり、誤差は通常、グローバルに測定されます（シーン全体で平均化されます）ので、局所的な誤差が大きくなる可能性があります。これは、ビューに依存しない解が特に悪い領域の画像をレンダリングした場合、結果が完全に間違っている可能性があることを意味します。
ビューに依存しないソリューションのもう一つの問題点は、ビューに依存しないソリューションよりもコストが高くなることが多いということです。なぜかというと，完全な解の表現を計算するからです（基本的にはすべてのビューに対して同時に解いています）。非拡散材質が許可されている場合、光沢のあるサーフェスの外観は視点によって急速に変化するため、単一のビューを計算する場合と比較して、これは非常に多くの余分な作業になります。
拡散面のみが許されている場合でも、ビュー依存アルゴリズムの方が効率的であることが多いです。なぜなら，解のうち興味のある部分だけを計算する必要があるからです。例えば，シーンモデルが複雑で，その一部しか見えない場合，画像を直接計算する方がはるかに効率的です。画像空間アルゴリズムは、ここに最大の可能性を秘めています。というのも、重要度駆動法は複雑なシーンにはあまりスケーリングしないからです（ドメイン全体の粗い解を計算するのにも非常にコストがかかる場合があります）。
ビューに依存するアルゴリズムとビューに依存しないアルゴリズムの違いは、ビューに依存するアルゴリズムをビューに依存しないアルゴリズムに変換することが可能な場合が多いため、実際には最初に見えるほど大きくはありません。類似している点は、どちらのアルゴリズムも大域的な解の線形測定値の有限集合を計算していることです。ビュー依存アルゴリズムの場合、これらの測定値はピクセル値です。各画素は、画像平面の小さな領域に入射する光を積分することで定義されます。これは，ビューに依存しないアプローチと密接に関連しており，解は通常，基底関数の線形の組み合わせとして表現されます。ビュー依存アルゴリズムは、画像のピクセル値ではなく、これらの基底関数の係数を推定するように適合させることができます。
1.4.4 偏りの無いモンテカルロ法 vs. 一貫性のあるモンテカルロアルゴリズム
モンテカルロ推定器は、未知の量\(Q\)に近似する値\(F_N(X_1, \dots, X_N)\)を計算します。通常、\(Q\)は既知の密度関数\(p\)のパラメータであり、\(X_i\)は\(p\)からのランダムサンプルとします。量\(F_N – Q\)は誤差と呼ばれ、その期待値\(\beta[F_N] = E[F_N – Q]\)はバイアスと呼ばれます。推定量は、すべての標本サイズ\(N\)に対して\(\beta[F_N]=0\)であれば偏りがなく、\(N\)が無限大に近づくにつれて誤差\(F_N – Q\)が1の確率でゼロになる場合は一貫性があります[Kalos & Whitlock 1986]。
直感的には、偏りのない推定器は平均的に正解を計算します。偏った推定量は、平均して間違った答えを計算する。しかし、偏った推定量でも一貫性があれば、サンプルサイズを大きくすることで、平均誤差を任意に小さくすることができます。
光輸送計算のロバスト性を確保するためには、偏りのない推定値が必要不可欠であることを主張します。グラフィックスで使用される多くのアルゴリズムは単に一貫性があるだけなので、これは重要なポイントとなります。
偏りのないアルゴリズムを好む基本的な理由は、解決策における誤差の推定がはるかに容易になるからです。計算結果に信頼性を持たせるためには、この誤差をある程度推定しなければなりません。偏りのないアルゴリズムの場合、これは単純にサンプルの分散を計算することになります。しかし、単に一貫性のあるアルゴリズムの場合は、バイアスも拘束しなければなりません。一般的にこれを行うのは非常に困難です。より多くのサンプルで単に描画するだけでは、バイアスを推定することはできません。バイアスはノイズの少ない結果をもたらしますが、それにもかかわらず不正確な結果をもたらします。グラフィックスアルゴリズムでは、この誤差は不連続性、過度のぼやけ、不愉快な表面の陰影などの形で目に見える形で現れることがよくあります。
偏りのないアルゴリズムは、他のレンダリングアルゴリズムと比較できる参照画像を生成するためによく使用されます。アンバイアスな手法は、発生しうるエラーの種類を強力に保証しているため、近似によってもたらされるアーティファクトを検出したり、測定したりするのに役立ちます。現実的な複雑なシーンでは、偏りのないアルゴリズムは、正しいと自信を持って言える画像を生成する唯一の実用的な方法です。
他のことが同じであれば、偏りのないアルゴリズムを好むべきであることは明らかです。グラフィックスにおける従来の常識は、アンバイアスドな手法は「高すぎる」ということであり、近似を行うことでより短い時間で納得のいく画像を得ることができるということです。しかし、この主張を裏付ける研究はほとんどありません。グラフィックスにおける光輸送アルゴリズムについては多くの研究が行われてきましたが、そのうちのほとんどが偏りのないアルゴリズムに向けられたものではありませんでした。我々の考えでは、その能力を判断するには、かなり多くの研究が必要だと思います。この論文の目標の一つは、偏りのない方法で何ができ、何ができないのかを探り、これらの疑問を解決することにあります。
1.5 ライトモデルとグラフィックスへのその影響
光輸送は、二次元の「平地ラジオシティ」から量子シミュレーションまで、さまざまな抽象度で研究することができます。このような数学モデルをいろいろと用意しておくと、それぞれの課題に適した最も単純なモデルを選択することができます。このように、光学現象の中にはアルゴリズム設計に大きな影響を与えるものもあれば、非常に簡単に追加できるものもあります。レンダリングアルゴリズムの異なるクラスを区別し、グラフィックスにおける光輸送を他の分野の同様の問題から分離するのは、どの効果をシミュレートするかという選択になります。
以下のセクションでは、実世界で発生する重要な光学効果をまとめ、光輸送アルゴリズムへの影響を議論します。光学現象は、それらを説明できる最も複雑でない光学理論（幾何学的光学、波動光学、または量子光学）に従ってグループ化されています。これらの理論はそれぞれ、観測された光の挙動の異なる側面を説明しています。
1.5.1 幾何光学
幾何光学は、基本的には光の素粒子論です。このモデルは、発光、拡散反射、鏡面反射、屈折、吸収などの幅広い光学現象を記述することができます。これは、私たちが日常の環境で目にするもののほとんどをカバーしているため、多くのレンダリングアルゴリズムが幾何学的光学に基づいている理由となっています。
しかし、完全な幾何光学は、ほとんどのレンダリングアプリケーションには複雑すぎます。コンピュータグラフィックスでは、通常、より単純で高速な光輸送アルゴリズムを得るために、より制限的な仮定をしています。
例えば、関与媒質は無視されることが多いです。一般に、光は、霧やゼラチンのような立体的な媒体の中で、発光、散乱、吸収される可能性があります。これらの可能性を無視することで、すべての散乱は表面（無限に薄い）で起こると仮定されます。これはまた、光が表面間を移動する際にエネルギーが失われないことを意味しています。
原理的には、単純にレイキャスティングの手順を拡張して、レイに沿ったボリューム散乱と吸収をサンプルすることで、モンテカルロアルゴリズムに関与媒質を含めることは簡単です[Rushmeier 1998]。必要とされる主な作業は、追加の幾何プリミティブの実装です。 3次元体積をメッシュ化して細分化しなければならず、2次元要素との相互作用を適切に考慮しなければならないので、有限要素アプローチで関与媒質を実装するためには、かなり多くの作業が必要です[Rushmeier & Torrance 1987]。 いずれのアプローチを用いても、サーフェイスオクルージョン（これらの媒体は、与えられた光線上を移動する光の一部をブロックするのであって、全てまたは何もブロックしないのではありません）と同様の方法で処理することが容易です。
幾何光学はまた、連続的に変化する屈折率を有する媒体を可能にします。このような状況は、例えば空気が加熱されたときに発生し、「蜃気楼」のようなゆらめき効果をもたらします。理論的には、この効果は光のビームが表面間を直線で移動しなくなるため、光の輸送問題をより複雑なものにします。その代わりに、光ビームは曲がった軌跡をたどるのですが、これはアイコナール方程式 [Born & Wolf 1986] で記述されており、ビームの軌跡を決定するためには少しずつ積分しなければなりません。2つの点（すなわち、それらを結ぶ光路の存在）の間の “可視性 “のチェックは、我々は困難な最適化問題を解決しなければなりません。これらの問題のいくつかは、近似を行うことによって緩和することができます[Stam & Languenou 1996]。しかし，この効果はほとんどのグラフィックスモデルでは重要ではないので，通常は無視されるだけです。
もう一つの一般的な想定は、光は単色である（すなわち、単一の周波数を持つ）ということです。これは通常、アルゴリズムの説明を簡単にするための便宜上のものです。単色光の強度ではなく、フルスペクトルで計算することで、多色光を扱うのは通常簡単です。スペクトルの操作は通常、汎用的なインターフェースを介して行われるため、異なるスペクトル表現を簡単に置き換えることができます。数多くの表現が提案されており、精度と費用の間で様々なトレードオフがあります [Hall 1989, Peercy 1993]。多色光は、単色アルゴリズムを異なる波長で繰り返すだけで処理できると主張されることもあります。しかし、これが良いアイデアであることはほとんどありません。多くの計算は、各波長で別々に繰り返されなければならず、異なる波長での結果間の変動（例えば、メッシュ解像度またはランダムサンプルの位置）は、好ましくない色のアーティファクトにつながる可能性があります。
同様に、表面を介した透過は、認められないことが多いです。繰り返しになりますが、これは通常、アルゴリズムを記述する際の便宜上のものです。透過は、光が表面の反対側に散乱することを除いては、反射と同じように扱うことができます。しかし、屈折率が一方の面から他方の面へと変化するときには、光ビームの輝度が二乗屈折率に応じて変化するので、いくつかの注意が必要です（第5章を参照）。また、屈折率は入射光の周波数に依存することがあり、これが分散と呼ばれる良く知られているの虹の効果につながることもあります。
一部のアルゴリズムでは、理想的な鏡面散乱はサポートされていません。これには、鏡による反射や、水と空気の間の屈折が含まれます。これは主に、表面の散乱特性の明示的な表現（例えば、多項式関数として）を必要とするアルゴリズムの問題です。これらの表現では、鏡のような表面はディラックデルタ分布に対応しており、これは容易には扱えません。鏡面がこれらのアルゴリズムによってサポートされる場合、それは多くの場合、鏡の平面の周囲の環境を反射させ、鏡を窓として扱うことによって扱うことができる、大きくて平らな鏡だけです[Rushmeier 1986, Wallaceら 1987, Rushmeier & Torrance 1990]。モンテカルロアルゴリズムで鏡面をサポートすることは比較的簡単ですが、これは計算にかなりのばらつきを加えるかもしれません（第8章参照）。
最後に、いくつかのアルゴリズムは理想的な拡散反射（または透過）のみをサポートしています。拡散面は、どの方向から見ても等しく明るく見えます。光子の散乱方向は、光子がどのように到着したかに依存しません。実際のシーンには様々な物質が含まれており、その散乱特性のばらつきが画像を面白く見せたり、リアルに見せたりすることがよくあるので、これは深刻な制限です。
拡散面の主な利点は、その外観が位置や方向ではなく、位置にのみ依存することです。これにより、4次元の問題を2次元の問題に減らすことができ、明らかにアルゴリズムをより単純化することができます。しかし、通常、アルゴリズムを拡散面から一般的な材質に変換するのは非常に困難です。いくつかのアルゴリズムは、理想的な拡散面と理想的な鏡面の線形の組み合わせである表面を扱いますが、これは一般的な散乱関数をサポートすることと全く同じではありません。また、一般的に見えますが、実際には拡散面のみが効率的に処理されるアルゴリズムもあります（例えば、他の材質は分散レイトレーシングを介して処理されます）。これらのアルゴリズムの一般性の主張は、ほとんどの表面が拡散していないとうまく機能しないため、誤解を招く恐れがあります。一般性をテストするためには、理想的な拡散マテリアルが存在しないシーンを使用するのが完全に合理的です。
1.5.2 波動光学
光は電磁波とみなすこともできます[Born & Wolf 1986]。このモデルは幾何光学が扱うすべての現象を説明していますが，それに加えていくつかの現象も説明しています．波動効果を得るために光の波動モデルをシミュレーションする必要は必ずしもありません。例えば、幾何光学に基づいたシステムをレンダリングするために、偏光を非常に簡単に追加することができます。実際、グラフィックスにおける光輸送のモデルは、3つの光学理論すべての特徴を組み合わせることがよくあります。
回折の波が示す効果の一つで、光が障害物の周りでわずかに “曲がる “ようになります。回折は人間のスケールではほとんど気づかれませんが、小さな物体（例えば10波長以下のもの）では無視できません。これは、例えば、マイクロジオメトリレベル[Heら 1991]で光の輸送をシミュレートすることによって、粗い表面からの反射を予測する上で重要な問題です。しかし、回折は光が直線上を移動するという仮定に反しているため、ほとんどの光輸送アルゴリズムに回折を組み込むことは困難です。
もう一つの重要な波動効果はコヒーレンスです。コヒーレンスとは、2つの光のビーム間の関係であり、それらの位相間の平均的な相関関係を測定するものです[Born & Wolf 1986]。これまでは、光の波は完全に非干渉であると仮定してきましたが、これは、そのような2つの波には位相相関がないことを意味します。非干渉性の光の最も重要な性質は、それらの光ビームを重ね合わせると、その強度が直線的に加算されるということです（ここで、強度は平均二乗振幅を意味します）。これは我々の通常の直感と一致しています。
2つのビームが部分的または完全にコヒーレントな場合、それらの重ね合わせは干渉をもたらします。両者の位相間に正の相関がある場合は建設的干渉と呼ばれ、そうでない場合は破壊的干渉と呼ばれます。同じ強度のコヒーレントな2本のビームを組み合わせると、その強度はゼロから4倍にもなります。この効果は、古典的な「2スリット実験」[Born & Wolf 1986]における明暗帯の原因となっています。
干渉は、薄いコーティングやシャボン玉のような非常に小さな特徴をモデル化する場合に重要となります[Gondekら 1994] 光はコーティング内部で前後に反射され、入射光の波がそれ自体に重畳するようになります。これは、どのような光ビームもそれ自身と完全にコヒーレントであるが、数波長離れたビーム上の２点の間には部分的なコヒーレンスが残っているため、干渉を引き起こすことになります。これは、白熱電球のような「コヒーレント」な光源を形成するビームにも適用されます。
干渉は、すべての光ビームの位相を追跡することによって、光輸送アルゴリズムに含めることができます[Gondekら 1994]。これは、任意のコヒーレント反射または屈折を含む、同じ光源からの各ビームが移動する経路の光学的長さを追跡することを必要とします。しかし、ほとんどのアプリケーションでは、この追加費用は正当化されません。
コヒーレンスは、偏光にも関係しています。光は横方向の電磁波であり、二次元平面内を移動する点（この点は電気ベクトルの先端であり、伝搬方向に垂直な平面内に常に含まれている）として表すことができます。同様に、光は互いに直角に振動している独立した波の重なりであると考えることができます。(関数をx軸やy軸のような2つの垂直なベクトルに投影してみてください。) 他の波と同じように、これら2つの波は部分的にも完全にもコヒーレントであったり、異なる振幅を持っていたりします。これらのうちのどれかが真であれば、光は偏光していると言うことになります。
偏光は、散乱特性が入射光の偏光の仕方に大きく依存する水やガラスなどの材質をモデル化する際に重要です。偏光に依存するもう一つの効果は複屈折（二重屈折としても知られています）[Drude 1900]です。これはある種の結晶で発生し、結晶表面に平行に偏光した光と垂直に偏光した光では屈折率が異なります。これは、入射した光のビームを反対の偏光を持つ2つのビームに分割し、異なる方向に屈折させる効果があります。
偏光は、ほとんどの光輸送アルゴリズムを含めることは非常に簡単です。結果は、異なるスペクトル表現を採用することに似ています。偏光の一般的な表現としては、ジョーンズ行列（常に完全に偏光している単色光に適している）とストークス行列（部分的に偏光している完全に非干渉な光ビームに適用される）の２種類があります。2つの部分的にコヒーレントで部分的に偏光したビームを重ね合わせる一般的な問題はより困難であり、波形を明示的に記述して作業する以外には、一般的に単純な表現は存在しません[Perina 1985]。
1.5.3 量子光学
量子物理学は、光の振る舞いの最も詳細で正確なモデルを提供しています。これらの効果の中には、幾何理論や波動理論では説明できないものもありますが、コンピュータグラフィックスにはまだ関連しています。
これらの効果の一つに蛍光があります。これは、光子が分子に吸収された後、別の波長で新しい写真が放出されるときに起こります。この効果は実際にはかなり一般的なものです。例えば、蛍光色素はより明るい色を出すために市販されていますが、紫外線の下で服が「暗闇で光る」ことが多いのはそのためです。
蛍光は、異なる波長のエネルギーが（線形的に）相互作用することを可能にすることによって、レンダリングシステムに追加することが非常に容易です[Glassner 1994]。光スペクトルをベクトル（波長ごとに1つの係数を持つ）で表現すると、表面からの散乱は行列として表現できます。蛍光がない場合、この行列は対角行列であり、そうでない場合は、対角成分から外れたエントリーのいくつかは非ゼロになります。
もう一つの興味深い効果は、燐光性です[Glassner 1994]。ここでは、光子は吸収され、その後（通常は異なる波長で）再放出される。この効果はほとんどのコンピュータグラフィックスアプリケーションでは重要ではありませんが、この種の時間遅延反応が重要な他の分野（例えば、放射性元素の崩壊）でも同様の問題があります。燐光性表面の現在の発光は過去の露光に依存するので、燐光性の実装は、レンダリングアルゴリズムが時間経過に伴う入射光を積分することを必要とします。
これまでに説明した効果はすべて線形光学に属します。1つの光ビームを入力とし、別の光ビームを出力とする任意の光学系を考えてみましょう。出力波が入力波の線形関数であれば、光学系は線形となります。例えば、2つの入力波を重ね合わせた場合、出力はそれぞれの波が単独で使用された場合に得られる出力の合計でなければなりません。この性質は実質的にすべての光学系に当てはまります。
しかし、レーザーの導入により、非線形効果が発見されています。例えば、高強度のレーザー光が特定の結晶を通過すると、結晶から出る光は、結晶に入る光の2倍の周波数になります。これは周波数倍増として知られています[Bloembergen 1996]。それは低強度の光では起こらないので、非線形性の一例となります。
他にも、量子物理学に基づいて説明されている多くの効果があります。例えば、光電効果や観測された黒体放射のスペクトル分布などです。レーザーもまた、その説明を量子物理学に依存しています。しかし、これらの効果はコンピュータグラフィックスとは無関係です。我々のシーンモデルに黒体放射を含めるために第一原理からシミュレーションする必要はありません。同様に、特殊相対性理論と一般相対性理論は、すべての実用的な目的のために無視することができます（例えば、重力場での光の曲がりなど）。
1.6 他分野の関連問題
光輸送は、物理学や工学の様々な問題に似ています。グラフィックスで使用されている技術の多くは、他の分野で最初に発見されたものであるため、これらの問題の関連性を明確に理解しておくことが重要です。他の科学分野から学ぶべきことはまだまだ多く、逆にこれらの分野にもコンピュータグラフィックスから学ぶべきことがあります。
しかし、他の分野での前提条件は、グラフィックスとは大きく異なることが多いです。このため、ある分野から別の分野へ結果を転送することが困難になることがあります。実際、光輸送問題のいくつかの側面は、コンピュータグラフィックスに特有のもののように見えます。
重要な違いの一つは、最終的な出力の表現です。コンピュータグラフィックスでは、最終的な出力は常に画像で構成されており、解の他の表現はこの目標に向けての中間的なステップに過ぎません。物理学や工学の分野では、画像は重要ではありません（可視化の補助として使用する場合を除く）。その代わりに，目的は数値的な測定値のセットを計算すること，あるいは，より良い方法として，解の全領域にわたる解の関数表現を計算することです。解が完全に表現されていると、設計上の問題（原子炉の遮蔽物からの漏れなど）を見つけやすくなります。
もう一つの違いは、解決策の質を測る方法です。他の分野では 標準的な数値誤差測定基準（例：\(L_2\)ノルム）に従って 客観的に正確な結果を計算することが目標です 一方、コンピュータグラフィックスでは、最終的な誤差評価基準は知覚的なものです（そのため、明示的に定義することは容易ではありません）。不連続性やマッハバンドのような視覚的なアーチファクトはグラフィックスでは非常に好ましくありませんが、熱伝達や原子力工学の問題では完全に受け入れられます（数値誤差が満足のいくものであれば）。このような理由から、他の分野で一般的な手法は必ずしもグラフィックスアプリケーションに適しているとは限りません。実際、知覚誤差は、光輸送アルゴリズムの研究をさらに進める主な原動力の一つとなっています。
このセクションの残りの部分では、光輸送問題を原子力工学、放射熱伝達計算、レーダーや音響波散乱、多体問題に関連するものとして議論します。
1.6.1 中性子輸送
モンテカルロ法の最初の応用の一つは、核デバイスの設計です。フォン・ノイマンやウラムのような初期のモンテカルロ法の先駆者たちは、この背景で技術を発見し、現在でははるかに広い適用可能性を発見しています[Ulam 1987]。中性子輸送問題はモンテカルロ法の自然な候補である。なぜならば、関係する次元の数が比較的多く（位置、方向、エネルギー、時間）、原子核との相互作用が複雑であるからです。
光輸送は中性子輸送と共通点が多いです。両者は同じ基礎方程式(ボルツマン方程式)によって支配されており、これは互いに相互作用しないあらゆる種類の粒子の輸送を記述しています。この方程式は、物理的な意味を無視して一般的な粒子の輸送を研究する輸送理論の中心的な側面の一つです[Duderstadt & Martin 1979]。
しかし、中性子輸送と光輸送では、重視する点が大きく異なります。例えば、コンピュータグラフィックスのほとんどのアプリケーションでは、関与媒質のシミュレーションは重要ではありませんが、中性子輸送では絶対に必要不可欠です。中性子は光子よりもはるかに遠くまで固体の中に入り込むので、体積散乱（および体積放出）が支配的な効果となります。実際，これらのシミュレーションでは表面散乱と放出は完全に無視されることがよくあります[Spanier & Gelbard 1969]。
もう一つの重要な違いは、異なるエネルギーレベルでの粒子間の相互作用です。グラフィックスでは、蛍光と燐光は比較的取るに足らない効果です。これは、近似的には、光子散乱は弾性的（その波長は変化しない）であり、瞬間的（光子の到着と出発の間に有意な遅延がない）であることを意味します。一方，中性子の散乱は非弾性で，一般的には原子核との衝突によってエネルギーを得たり失ったりします（これは蛍光に似た効果です）。同様に，中性子の到着と他の中性子の散乱や放出の間にはわずかな遅れがあります（燐光に似ています）。これらの遅延は計算結果に大きな影響を与える可能性があり、無視することはできません。
3つ目の大きな違いは、保存則の存在です。グラフィックスではエネルギーの保存に頼ることが多いのですが、表面から散乱された光は入射した光よりも大きくはなりません。一方、中性子の場合は、このような保存を避けることが目的であることが多いのです。核反応が臨界状態や超臨界状態になることもありますが、その場合、環境中の中性子の数は時間とともに急速に増えていきます。個々の衝突事象としては、1つの入射中性子が複数の新しい中性子を放出させることがあります（原子核を分裂させることで）。また、高エネルギーの光子（ガンマ線）のように他の種類の粒子も放出されることがあり、これらの粒子も追跡する必要があることが多いです。
これらの違いはありますが、中性子輸送に関する文献に記載されている多くの技術は、コンピュータグラフィックスへの応用が可能です。光輸送はより単純な問題なので、これは通常かなり簡単です。
また、電子のような荷電粒子の輸送アルゴリズムにも関心が寄せられています。しかし、荷電粒子の重要な特性は、電磁場を利用して距離を置いて相互作用することです。同様に、荷電粒子の軌道は固定された電場と磁場の影響を受け、これらの粒子は湾曲した軌道をたどります（連続的に変化する屈折率を持つ媒体を通過する光子に似ている）。これらの特徴は荷電粒子の輸送にかなり異なる趣を与え、ほとんどの光輸送アルゴリズムはこの目的に簡単に適応できません。
1.6.2 熱伝導
放射熱伝達も光輸送と非常によく似ています。実際には、唯一の違いは、熱の光子がより長い波長（スペクトルの赤外線部分）を移動することです。しかし、中性子輸送と同様に、問題の異なる側面が重視されています。
まず、熱伝達の3つのメカニズムである伝導、対流、輻射を概観する。伝導では、隣り合う振動する原子同士がぶつかり合うことでエネルギーが交換されます。これにより、「ホットスポット」から熱がゆっくりと移動します（例えば、フライパンの柄が熱くなるのはこれが原因です）。対流では、原子の大規模な動きによって熱が移動します（例えば、熱気のドラフト）。最後に、光子の輻射によって熱が伝わりますが、これは長距離をほぼ瞬間的にエネルギーを運ぶものです（例：キャンプファイヤーの近くに立ったときに感じる熱）。この最後のメカニズムは、光の輸送に似ています。
このことは、光輸送との最初の重要な違い、すなわち、放射線は熱伝達問題の一側面に過ぎないということをもたらします。多くのアプリケーションでは、伝導と対流が少なくとも同じくらい重要です。(このことを示す一つの指標として、応用数学や工学の文献では、熱方程式は伝導のみを指すことが多いです[Gustafson 1987, Hughes 1987]。）理論的には、伝導と対流は光の輸送計算にも影響を与えますが、もし周囲の環境の一部が非常に高温になっていて光っている(すなわち可視波長の光子を放出している)場合には、これは間違いなくコンピュータグラフィックスの伝統的な領域からは外れています。
第二の違いは、伝熱問題が非線形であることが多いことです。例えば 高温の表面から放射される放射のスペクトルは その温度の4乗に依存しますし 対流も複雑な方法で温度の影響を受けます。しかし、熱伝達の放射面は常に線形問題であるため、これらの非線形性は我々の目的には関係ありません。伝導、対流、さらには放射による温度変化は光速に比べて非常に遅いため、系は常に放射平衡状態にあります。
中性子輸送とは異なり、ほとんどの熱伝達アルゴリズムは有限要素法に基づいている。これにはいくつかの理由があります。第一に、有限要素法は(孤立した測定値ではなく)全体の解の表現を計算するため、設計上の問題点を見つけやすくなります。第二に、完全な解を用いることで、伝導と対流の効果を簡単に含めることができ、システムの経時的な進化を追跡することが可能になります。最後に、有限要素法は土木・機械工学の標準的なツールであるため、これらの手法を熱伝達問題に適用することに違和感はありません。
中性子輸送アルゴリズムがモンテカルロ法の研究に影響を与えたように、熱伝達の文献は光輸送に対する有限要素法に影響を与えてきました。
1.6.3 レーダーと音響の問題
電波の散乱も光輸送と同様の問題です。電波は単に電磁スペクトルの別の部分ですが、可視光や輻射熱よりもはるかに長い波長を持っています。そのため、電磁波の波の性質が重要になり、回折や干渉などの影響を無視することはできません。このため、これらの問題のための数学的モデルとアルゴリズムは、幾何光学ではなく、波動モデル光に基づいています。これにより、全く異なるアルゴリズムと洞察が得られます。
レーダーシステムが検出しにくい物体（軍用機など）の設計では、無線散乱の問題が発生します。同様の問題は、音波の散乱を予測することが重要な講堂やコンサートホールの設計でも発生します。可聴音の波の長さは、通常の物体の寸法（約1cmから10m）に匹敵するため、波の影響を無視することはできません。
最も基本的なレベルでは、これらの問題は波動方程式を解くことを含んでいます[Strang 1986, Gustafson 1987, Zauderer 1989]。この定式化は非常に一般的ですが、現実的な問題では解くのが難しく、コストもかかります。すべての電波源は単一の周波数を持ち、その強度は時間とともに変化しないと仮定することで、問題を大幅に単純化することができます。これはこの問題の時間調和版と呼ばれています。このような系は、各点の電磁場の強度が時間の正弦関数である平衡状態に急速に収束します。各点における電磁振動の振幅と位相は複素数で表すことができます。
数学的には還元問題はヘルムホルツ方程式で記述され、還元された波動方程式としても知られています[Zauderer 1989]。これは波動方程式のような偏微分方程式ですが, 時間依存性がないことを除いては (我々は平衡状態のために解いているので). 形式的には、これはヘルムホルツ方程式が波動方程式のような双曲問題ではなく、楕円問題であることを意味します。楕円問題は双曲問題とは全く異なる解法を必要とし、一般的には解きやすいです。
電波や音波の散乱のための方法は、光の輸送問題に直接適用することができます。単一の周波数に制限されているため、単色光のみを扱うことができます（または各周波数を独立してシミュレートしなければなりません）。この定式化は、回折や界面だけでなく、幾何光学が扱うすべての現象を正しく扱うことができます。これは、光の波動性が重要なグラフィックス問題の興味深い解法を導く可能性があります。
1.6.4 多体問題
多体問題に対する効率的なアルゴリズムは、最近のコンピュータグラフィックスに重要な影響を与えています。この問題の最も単純なバージョンは、質量の異なる\(N\)個の粒子の集合を含みます。この問題は、他の粒子が各粒子に及ぼす重力を決定することです。これは、粒子の速度と位置を時間的に積分することで、粒子の運動をシミュレートするために使用することができます。この問題は荷電粒子や、より複雑な形状の物体にも拡張することができます。
この問題の明白なアルゴリズムは、力の\(O(N^2)\)対を計算し、それらを一緒に加算して各粒子に作用する合力を見つけることです。しかし、最近では、より効率的なアルゴリズムがいくつか提案されています。これらのアルゴリズムは、\(O(N \log N)\) [Barnes & Hut 1086]または\(O(N)\) [Greengard & Rokhlin 1987, Greengrad 1988]の複雑さを持っています。基本的な考え方は、遠い粒子をグループ化して、多くの個々の粒子の計算をグループのための単一の計算に置き換えることができるということです。重力と電気力の\(O(1/{r^2})\)フォールオフのため、これらの近似は精度を大きく損なうことなく可能です。粒子は階層的なデータ構造に整理されており、近くの粒子は小さなグループで処理し、遠くの粒子は大きなグループで処理することができます。
これらの技術は、階層的な光輸送アルゴリズム[Hanrahanら 1991]に刺激を受けています。 例えば、点光源の強度は重力と同じ種類の\(O(1/{r^2})\)フォールオフの法則に従います。実際には、単に点状質量を点状光源に置き換えると、多体アルゴリズムを用いて、多くの点でのこれらの光源によるフルエンス率を効率的に同時に計算することができます。(空間のある点でのフルエンス率は、全方向の入射輝度の積分、すなわち、小さな球状の光センサーによって受信される単位断面積あたりの総電力となります [American National Standards Institute 1986])。
しかし、孤立した点でのフルエンスを計算しても画像化には特に役立ちません。重力は壁を通りますが、光は壁を通りません。さらに、重力は位置の関数であるのに対し、光の強度（輝度）は位置と方向の関数となります。(これは、点状の質量は全方向に同じ重力を発生させますがが、点状の光源は異なる方向に異なる量の光を放射することができるからです)。
これらの違いは、光の輸送を多体問題よりもかなり複雑にしており、グラフィックスにおける階層的アルゴリズムが多体問題と同じ精度と性能を保証できていない理由を説明するのに役立っています。多体アルゴリズムの結果は非常に印象的で、解は機械の浮動小数点分解能に匹敵する精度で計算でき、時間の複雑さは\(O(N)\) [Greengard 1988]です。現実的な光輸送問題で同様の結果が得られるかどうかは疑問です。